摘要 尊重并认真研读原始文献, 是对数学史工作者的起码要求 。但是,有意无意对原始文献曲解的现象 ,在数学史研究中并不鲜见, 甚至某些颇负盛名的学术著作也不能幸免 。以 《九章算术 》的编纂、对刘徽割圆术的认识 、 对秦九韶的大衍总数术的认识 、 李冶的 《测圆海镜 》为何而作 、 天元术中开方式的表示等为例 ,说明自清中叶起, 在中国数学史的这些重大问题上就存在许多误解 。只有尊重原始文献 ,才能准确地认识中国数学史 。    

 　数学史是历史学的一部分 。它要求研究者站在现代数学的高度,用历史学的方法 ,整理此前产生的数学遗产。不言而喻, 反映这些遗产的载体— — —原始文献 ,是我们研究的主要对象 ,是数学史研究的出发点 。因此,尊重并认真研读原始文献, 是对数学史工作者的起码要求。这好像是杞人忧天, 搞数学史 ,怎能不尊重原始文献呢 ? 不过 ,对原始文献弃而不用 ,只靠自己的臆测得出某些结论的轻率态度 ; 读不懂古文便对古文乱加改窜的不负责任态度; 因原始文献的记载与自己的观点相左 ,便对古文进行曲解, 强古人以就我的态度 ; 甚至不加说明的随意删节若干古文,为我所用的态度等等 ; 在数学史研究和著述中并不鲜见 ,甚至某些颇负盛名的学术著作也不能幸免 。中国数学史研究中经常发生一些争论 ,原因当然各异 ,然而,不尊重原始文献, 甚至有意无意地篡改古文, 是一个重要原因。下面举一些在数学史界流传多年甚至一二百年的不尊重原始文献的例子。

1　 刘徽关于 《 九章算术 》编纂的论述错了吗 ?

　　《九章算术》的成书时间是中国数学史界聚讼多年的问题。关于 《九章算术 》编纂的最早论述见之于魏刘徽的 《九章算术注序 》:按 : 周公制礼而有九数 , 九数之流 , 则 《九章》是矣 。往者暴秦焚书 , 经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世 。苍等因旧文之遗残, 各称删补 。故校其目则与古或异, 而所论者多近语也 。[ 1] ①

　　清中叶戴震 ( 1724— 1777年 ) 整理 《九章算术 》( 1774年 ) 时开始怀疑刘徽的说法。他说:“今考书内有长安 、 上林之名。上林苑在武帝时, 苍在汉初, 何缘预载 ? 知述是书者 ,在西汉中叶后矣 。 ”[ 2] 此说一出,张苍未参与删补《九章算术 》其事 ,似成定论 ,从此 ,张苍被赶出了数学家的队伍。尽管钱宝琮发现汉高祖时已有上林苑( [ 3] ; [ 4] , 第 9卷 , 159—160页 )② ,然而由于无法推翻历史学界汉武帝时才推行均输法的成说, 因此他并未推翻戴震的看法 ,反而将《九章算术 》成书时代更向后推 ,定在公元 1世纪下半叶 。 20世纪的论者多就成书在西汉中叶至东汉中叶各抒己见 ,其中影响比较大的是钱宝琮的看法与近年李迪提出的刘歆完成说[ 6]。

　　我们认为,今天的研究者不能将刘徽关于 《九章算术》编纂的论述与近人 、 今人关于《九章算术》成书的一些猜测放在同等的地位上来考察 。只有首先驳倒刘徽 ,才能再考虑其他的说法 。换言之 ,如果无法推翻刘徽的论述, 就只能相信刘徽 。因为刘徽的话是在《九章算术》成书二三百年后, 而戴震等人的话则在二千多年之后 。刘徽去古未远, 他不仅能师承前辈关于《九章算术》编纂的可靠说法 ,而且能看到比近人 、 今人多得多的资料。

　　过去学术界以为汉武帝才推行均输法, 《九章算术 》“均输章 ”只能产生在汉武帝之后 ,是张苍未删补 《九章算术》最有力的证据 。可是, 1983年底张家山汉墓中与 《算数书》同时出土的竹简中有 “均输律 ”,[ 7]说明在汉初以前就已经推行均输法 。否认张苍编纂《九章算术》的主要根据,不攻自破。

　　同时,对 《九章算术》结构和体例的分析证明了 “九数 ”确实存在 。 《九章算术》中以抽象性术文为中心的部分函盖了方田 、 粟米、 少广、商功、盈不足、 方程等 6章的全部,以及衰分章的衰分类问题 、 均输章的均输类问题 、勾股章的旁要等问题 。如果将 《九章算术》的衰分章剔除非衰分问题并使用 “差分”之名, 将均输章剔除非均输问题, 将勾股章剔除解勾股形问题与立四表望远等 3问并恢复 “旁要 ”之名,则 《九章算术 》九章的内容完全与章名相符,而且都采取术文统率例题的形式。同时与二郑所说的 “九数 ”完全吻合 。这就证明了刘徽所说的 “九数之流 ,则 《九章 》是矣”是非常正确的 。 

　　再者,日本堀毅比较了 《九章算术 》与 《史记 》、《汉书》等典籍以及秦汉竹简中的谷类 、 六畜、 布帛、 劳动力等的价格 ,认为说“《九章算术 》里的物价即汉代物价是颇勉强的 ”,得出“《九章算术 》基本上反映出战国 、 秦时的物价 ”的结论 。尽管堀毅仍然引用 《九章算术》成书于公元 1世纪的说法 ,但他的考察实际上否定了这种说法 ,无疑为《九章算术》主要部分成立于秦和先秦 ,证明刘徽说法的正确,提供了佐证 。总之,可靠的史料中没有一项与刘徽的论述相矛盾 ,却无一不证明了刘徽说法的正确性 。相反,戴震之后对刘徽说法的怀疑都没有可靠的史料作支持, 因而是站不住脚的 。乾嘉学派特别是戴震等人的考据功夫极深 ,但是,疑古倾向太严重 。且不说当时大规模的文物考古发掘尚未展开,只就典籍而言, 由于时代久远及各种天灾人祸, 古代出现过的典籍能流传到清中叶的百无一二; 有幸流传到清中叶的,一个人即使如戴震这样聪明博学的大才,能读到的亦百无一二 。因此,戴震等人以自己一己之知识, 便随意否定历史文献的记载,其偏颇是显而易见的 。

　　尊重原始文献,走出疑古, 这就是结论 。

2　 刘徽割圆术的主旨是什么 ?

　　中国的传统科学技术除中医药学外, 大都在 20世纪初叶中断 。从事中国科学技术史研究的学者绝大多数是受西方现代科学技术教育的 ,这就存在着一个既站在现代科学技术的高度,又回到中国古代的实际的问题 。然而 ,在研治中国传统科学技术史的时候, 我们往往囿于自己的知识修养,离开古文,自觉或不自觉地用我们所熟悉的西方的或现代的方法取代中国传统的方法 ,从而造成错误 。即使是一些造诣相当高的学者的某些严肃的论著在使用原始文献方面也会造成失误。对刘徽割圆术及求圆周率程序的理解偏颇就是一个典型的例子。《九章算术》在给出 2个已知圆的周、径,求其面积的例题之后 ,提出了圆田术 :术曰: 半周半径相乘得积步 。

这就是圆面积公式

　　　　　ｓ＝１/２ ｌ，ｒ   　　　( 1)

其中 S , L , r 分别为圆的面积 、 周长、 半径。刘徽以极限思想和无穷小分割方法证明了这个公式。他说 :又按: 为图。以六觚之一面乘一弧半径,三之, 得十二觚之幂。若又割之 ,次以十二觚之一面乘一弧之半径, 六之 ,则得二十四觚之幂 。割之弥细, 所失弥少 。割之又割 ,以至于不可割 ,则与圆周合体而无所失矣。觚面之外 ,犹有余径 。以面乘余径 ,则幂出弧表。若夫觚之细者 ,与圆合体 ,则表无余径。表无余径 ,则幂不外出矣 。以一面乘半径,觚而裁之, 每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。这是对 《九章算术 》圆面积公式的一个完整证明 。刘徽首先使用了几个极限过程。他从圆内接正 6边形开始割圆。设第 n 次分割得到正 6· 2

n 边形的面积为 Sn ,刘徽认为

Sn +1 < S < S n + 2( S n +1 - S n ) ( 2)

同时,

　　刘徽考虑与圆合体的正无穷多边形, 将它分割成以圆心为顶点 ,以每边为底的无穷多个小等腰三角形 ,每个小等腰三角形的高 r , 其底边长 l ,面积为 A  。显然 。所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长: 

 , 它们的面积之和为圆面积: ，因此故完成了证明。

　　刘徽接着说 :

　　此以周 、 径, 谓至然之数,非周三径一之率也。

因此需要求周、 径的“至然之数 ”,即圆周率 。他在批评了前人沿用 “周三径一之率 ”的错误之后 ,提出了求圆周率近似值的科学程序。他仍从直径为 2尺的圆的内接正 6边形开始割圆 ,得到圆内接正 12、24、48、96、192边形, 援引勾股定理 ,计算出它们的边长以及正96边形的面积正 192边形的面积刘徽求出差幂 S5 -然后说:

　　加此幂于九十六觚之幂,得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十, 则出于圆之表矣 。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率, 而弃其余分。以半径一尺除圆幂,倍所得 ,六尺二寸八分 ,即周数。 ……令径二尺与周六尺二寸八分相约 ,周得一百五十七, 径得五十, 则其相与之率也。周率犹为微少也 。就是说 ,刘徽由公式( 2) 并且通过计算证明了

(3)

  因此取 314寸2作为圆面积的近似值 。将这个近似值与半径 1尺代入公式( 1) 的逆公式 L= 2S/r,求出圆周长的近似值 6尺 2寸 8分。将圆的直径与周长相约, 便得到圆周率157/50。

  显然,刘徽的圆田术注亦即割圆术,其主旨是证明《九章算术》的圆面积公式( 1) 。由于发现 《九章算术 》的例题使用“周三径一之率 ”不准确,刘徽要求圆的周、 径的至然之数,即圆周率。同时 ,他求圆周率的方法 ,是以被刚刚证明了的圆面积公式

( 1) 为基础的。刘徽在证明公式( 1) 时用到了极限思想与无穷小分割方法, 而在求圆周率时, 并未用到极限思想和无穷小分割,只是极限思想在近似计算中的应用 。刘徽的整个圆田术注, 论点明确 ,论据充分 ,逻辑清晰,没有任何费解之处。我们上面的解释仅仅是用现代汉语和数学符号复述刘徽的文字 ,没有添加任何东西 。

　　可是, “文革 ”前约半个世纪 ,几乎所有关于刘徽割圆术的文章都没有认识到这一点。甚至一篇逐字逐句用现代汉语翻译圆田术注的文章 ,对 “觚而裁之 , 每辄自倍 ,故以半周乘半径而为圆幂 ”这几句画龙点睛的话,竟然略而不译。[ 11]

　　由于没有认识到刘徽的目的在于证明 《九章算术》的圆面积公式 ,人们对刘徽求圆周率的程序也统统搞错了。人们用

　　取代不等式 ( 3) , 并且说 “刘徽舍弃不等式两端的分数部分, 即取 100π =314, 或 π =157、50。 ”( [ 4] ,第 5卷 , 73— 74页; [ 12] , 67—68页; ) 这里实际上使用了圆面积公式，其中 r =10寸。这种解释不符合刘徽的程序是显然的 ,而且还会把刘徽置于犯循环推理错误的境地 。我们知道,刘徽在求出 π =157／50 之后 ,用此圆周率值修正了《九章算术 》中与( 4) 式相当的圆面积公式 S = 3／4d,其中 d 为圆的直径 。按照上述这种解释 ,无异于说 ,刘

徽用由 ( 4) 式求出的圆周率来修正( 4) 式。这当然是一个循环推理。而实际上 ,刘徽从未犯循环推理的错误。 ( [ 8] , 299页; [ 9] , 299页 )对刘徽割圆术的误解延续时间之长, 涉及范围之广, 是罕见的 ,直到 20世纪 70年代

末华道安[ 13] ① 、1980年笔者才先后解决了这个问题 ② [ 14、15]。笔者多次向学生和友人申明 ,所谓“解决这个问题”, 只是原原本本阐释《九章算术》圆田术的刘徽注, 并由此发现了以往解释的偏颇 。仅此而已,岂有他哉。遗憾地是,直到目前,还有许多谈割圆术的文章 , 仍然重复 20世纪 70年代末以前的错误。

3　 是 “大衍总数术 ”还是 “大衍求一术 ”?

　　对南宋数学家秦九韶 《数书九章 》求解一次同余方程组的方法 “大衍总数术 ”, 自清中叶以来 , 大多数推演秦九韶方法的著作 ③ 及 20世纪的数学史著述 ( [ 12] , 206—209页;[ 16] ) 都将其称为 “大衍求一术”。实际上这是一个误解。我们先看看秦九韶的原话:

　　大衍总数术曰: 置诸问数: 类名有四。一曰元数 ,谓尾位见单零者。本门揲蓍 、 酒息 、 斛粜 、 砌砖、 失米之类是也。二曰收数 ,谓尾位见分厘者。假令冬至三百六十五日二十五刻,欲与甲子六十日为一会,而求积日之类。三曰通数 ,谓诸数各有分子母者。本门问一会积年是也 。四曰复数 。谓尾位见十或百及千以上者。本门筑堤并急足之类是也 。元数者 ,先以两两连环求等 ,约奇弗约偶 。或约得五而彼有十, 乃约偶而弗约奇。或元数俱偶,约毕可存一位见偶。或皆约而犹有类数存 ,姑置之, 俟与其它约遍而后乃与姑置者求等约之。或诸数皆不可尽类, 则以诸元数命曰复数 ,以复数格入之 。收数者 ,乃命尾位分厘作单零,以进所问之数, 定位讫,用元数格入之。或如意立数为母 ,收进分厘 ,以从所问 ,用通数格入之 。通数者 ,置问数, 通分内子 ,互乘之, 皆曰通数 。求总等 ,不约一位 ,约众位, 得各元法数, 用元数格入之。或诸母数繁 ,就分从省通之者 ,皆不用元 ,各母仍求总等 ,存一位 ,约众位, 亦各得元法数, 亦用元数格入之 。复数者 ,问数尾位见十以上者。以诸数求总等 ,存一位,约众位 ,始得元数。两两连环求等,约奇弗约偶 ,复乘偶; 或约偶弗约奇 ,复乘奇。皆续等下用之 。或彼此可约而犹有类数存者 ,又相减以求续等, 以续等约彼, 则必复乘此, 乃得定数 。所有元数、收数、 通数三格, 皆有复乘求定之理, 悉可入之 。

　　求定数 ,勿使两位见偶, 勿使见一太多。见一多 ,则借用繁 ; 不欲借, 则任得一。以定相乘为衍母 ,以各定约衍母 ,各得衍数 。 或列各定为母于右行, 各立天元一为子于左行, 以母互乘子, 亦得衍数。 诸衍数 ,各满定母去之 ,不满曰奇 。以奇与定, 用大衍求一入之 ,以求乘率。 或奇得一者, 便为乘率。

　　大衍求一术云: 置奇右上,定居右下, 立天元一于左上。先以右上除右下 ,所得商数与左上一相生 ,入左下。然后乃以右行上下以少除多 ,递互除之 ,所得商数 ,随即递互累乘 ,归左行上下,须使右上末后奇一而止。乃验左上所得 ,以为乘率 。或奇数已见单一者,便为乘率。

　　置各乘率,对乘衍数, 得泛用 。并泛, 课衍母, 多一者为正用。或泛多衍母倍数者 ,验元数, 奇偶同类者,损其半倍, 或三处同类, 以三约衍母, 于三处损之 。各为正用数。或定母得一,而衍数同衍母者 ,为无用数。当验元数同类者, 而正用至多处借之 。以元数两位求等 ,以等约衍母为借数 ,以借数损有以益其无为正用 。或数处无者 , 如意立数为母 ,约衍母, 所得以如意子乘之, 均借补之 。或欲从省勿借 ,任之为空可也。然后其余各乘正用,为各总 。并总,满衍母去之 ,不满为所求率数。[ 17] ①

　　无需解释, 秦九韶求解一次同余方程组的方法是 “大衍总数术 ”, 它包括四个部分 : 诸问数的定义 ,将不两两互素的问数化为两两互素的定数的程序, 求乘率的程序即 “大衍求一术”, 求率数即答案的程序。 “大衍求一术”只是其中的一部分 ,尽管是其相当重要的一部分, 但却不是一次同余方程组解法的全部。因此 ,以“大衍求一术 ”代替“大衍总数术 ”,将 “大衍求一术”说成是秦九韶的一次同余方程组解法 ,是不恰当的 。近年有一些著述已经改变了将秦九韶的 “大衍总数术”称为 “大衍求一术”的错误。②不过 ,也有一些有影响的著作 ,尽管使用了“大衍总数术 ”的名称, 但是或者认为“大衍总数术 ”仅指化诸问数为定数的方法 ,或者将“大衍总数术”看成求率数的程序, 并且都将其看成与 “大衍求一术”并列的两条术文 ; 另有一些著述还是根本不提 “大衍总数术”,仍将秦九韶求解一次同余方程组的方法称为“大衍求一术 ”。

4　 《 测圆海镜 》、《 益古演段 》何为而作

　　《测圆海镜》、《益古演段》是元数学家李冶 ( 1192— 1279年) 的两部重要数学著作。李冶为什么写 《测圆海镜 》和 《益古演段 》, 200余年来一直存在误解。清阮元 ( 1764—1849年 ) 云 :《测圆海镜》何为而作也 ? 所以发挥立天元一之术也 。[ 23]对 《益古演段 》,四库馆臣云 :　

　　《测圆海镜》以立天元一法为根。此书即设为问荅,为初学明是法之意也 。[ 24]因此, 20世纪的中国数学史著述亦多将 《测圆海镜 》说成是一部研究天元术的著作,而 《益古演段 》是一部普及天元术的著作 。 ( [ 25] , 104— 148页 ) 诚然, 《测圆海镜 》和 《益古演段 》是现存使用天元术的最早的两部著作 ,人们重视它们关于天元术的内容, 是完全正确的 。但是,说它们是李冶为天元术而写的 ,则不符合历史事实。为此, 我们看看李冶自己是怎么说的 。李冶谈到撰著《测圆海镜》的缘起时说 :

　　余自幼喜算数。恒病夫考圆之术 ,例出于牵强 ,殊乖于自然。如古率、 徽率、密率之不同 ,截弧 、 截矢、 截背之互见 ,内外诸角 、 析剖支条,莫不各自名家与世作法。及反复研究 ,卒无以当吾心焉。老大以来得洞渊九容之说 ,日夕玩绎, 而向之病我者使爆然落去而无遗余 。山中多暇,客有从余求其说者,于是乎又为衍之 ,遂累一百七十问。既成编 ,客复目之 《测圆海镜》。盖取夫天临海镜之义也。[

　　不言而喻,李冶自己表白他的《测圆海镜》是为了阐释洞渊九容, 而不是为“发挥立天元一之术”而作的 。

　　至于《益古演段》,李冶说:

　　　　近世有某者 ,以方圆移补成编,号 《益古集》,真可与刘 、 李相颉颃。余犹恨其门必匿而不尽发,遂再为移补条段 ,细翻图式 ,使粗知百十者便得入室啖其文, 顾不快哉 ![ 27]显然, 《益古演段 》是在蒋周的 《益古集 》的基础上 “移补条段 ,细翻图式 ”, 以使初学数学者便能看懂 ,而不是为普及天元术而写的 。

　　事实上 ,李冶在这两部数学著作的自序中没有一个字谈到天元术。不仅如此 ,他同榜之子王德渊的《敬斋先生测圆海镜后序 》、他朋友砚坚的 《益古演段序 》,也都没有一个字谈到天元术 。我们再考察一下 《测圆海镜 》的具体情况。数学史界公认 , 《测圆海镜 》全书的理论基础是卷一的关于勾股形和圆的各种相切关系的 600余条命题 ,以及卷二前十个题目的 “法”中的 10条容圆公式 ,可是 , 《测圆海镜》从卷一到卷二第 13问, 没有一个字谈到天元术。此外 , 《测圆海镜 》全书所有 170个问题的 “法”中,也没有一个字谈到天元术。只是卷二的第 14问即该卷最后一问,以及卷三至卷十二的 156问, 凡 157问的“草”中 ,才使用了天元术列出“法 ”中给出的方程 。但是, 这些 “草”并没有对使用天元术列出方程进行阐释 。当然,今天的研究者可以从这些 “草 ”和其他使用天元术列方程的著作中, 归纳出当时人们使用天元术列方程的抽象程序 ,以补金元关于天元术的基本著作全部亡佚之遗 ,然而 ,今人的归纳不等于原著的阐述。就是说 ,天元术在这里是作为数学界的共识的一种方法使用的 。总之, 《测圆海镜 》是阐释勾股容圆的著作 ,并不是以阐述天元术为目的的。同样 , 《益古演段》是阐发 《益古集 》的田亩问题的著作 ,也不是以阐述天元术为目的的。天元术只是李冶在这两部著作中使用的主要方法 。

　　因此,研究一部古籍,不能将今天研究者的想法与作者的意图混同起来, 更不能以研究者的想法取代作者的意图,必须将两者区分开来 ,才能恢复历史的真面貌 。不言而喻,李冶自己表白他的《测圆海镜》是为了阐释洞渊九容, 而不是为“发挥立天元一之术”而作的。

5　 是天元式还是天元开方式 ?

　　对天元式的表示也有一些模糊认识。应当指出, 天元式主要是指含有 “天元”的多项

　　3期 郭书春:尊重原始文献　 避免以讹传讹 445 式或单项式 ,而不是指开方式。许多数学史著述将开方式也称为天元式, 甚至称为 “天元开方式 ”,说 “`天元开方式' 就是一元高次方程 ”, 说 “现今代数学的一元高次方程

　　这是不恰当的。上面这种式子是天元多项式, 而不是开方式 ; 金元数学著作中没有 “天元开方式 ”这种术语 ,这是今人因错误地理解天元术而 “创造 ”的 。一般说来 ,在天元术中,经过如积相消,得出的开方式不再标以 “太 ”或“元”。如 《测圆海镜 》卷三第 5问之 “草”( [ 28] , 771页) 的开方式即表示成( 这里以阿拉伯数字代替算筹数字 ,下同) :

　　有的学者在引用这个开方式时在“4184”后加了个原文所没有的 “元 ”字 ,这当然是被上述的不恰当认识误导所致。《益古演段》第 6问 ( [ 29] , 881页 ) 中的 :

24057

0

- 825

表示二次方程

　　　但是,现传《测圆海镜 》中也有少数题目,在如积相消后得出的式子中仍标以“元”,如卷三第 2问 “法”之“草 ”( [ 28] , 770页 ) 中便有:

　　不过, 这种情形相当少 ,而 《益古演段 》及其之后的著作再没有这种表示 。因此即使清刻本没有讹误 ,这也是天元术发展过程中的一种现象 ,不具有一般性 。当然 ,并不能排除清刻本误加“元 ”字的可能性 。在对这个问题认识模糊的情况下, 这种讹误极易发生, 正如20世纪许多作者在引用李冶的开方式时常在未知数的一次项旁衍一 “元 ”字一样 。无论446 　 自 然 科 学 史 研　 究 26卷如何, 作为成熟的天元术, “如积相消 ”得出的开方式是不出“元”字的 ,与天元式是有区别的。有的学者说“李冶的天元式 , 既可表示方程, 又可表示多项式 。从形式看 ,两者并无区别 ”[ 30, 31],这种概括不符合元代大多数数学典籍关于天元术表示的实际情况, 当然是不妥当的。有时即使在天元式不标出“元”字或“太”字 。如 《益古演段 》卷中第 39问有一天元式( [ 29] , 912页 ) 是

　　《算学启蒙》中所有的天元式都不标出 “太 ”或“元 ”字 。如卷下 “开方释锁门 ”第 31问有天元式前四个天元式都没有标出 “太 ”或“元”,它们依次是多项式

最后一个式子表示 5次方程还可以举出一些例子 。由于李俨、 钱宝琮等中国数学史学科奠基者和历代数学史工作者的努力 ,中国数学史研究有相当深厚的基础和成就 。在这种情况下 ,更应该力求准确地表述这些成就 ,既不夸大 ,也不缩小 。为此, 除了尊重原始文献之外, 别无他途 。

　　同时,中国传统数学成就辉煌, 然而历史上产生的尤其是元中叶以前的大量数学著作 ,流传到现今的只是极少一部分。就是说,我们实际上只知道中国数学史的几个 “点 ”。如何将这些 “点”串连成“线 ”或“体”, 成为一部完整的中国数学史, 是数学史工作者的任务 。吴文俊先生提出 “古证复原 ”的三原则 :

　　原则之一,证明应符合当时本地区数学发展的实际情况, 而不能套用现代的或其它地区的数学成果与方法 。

　　原则之二,证明应有史实史料上的依据,不能凭空臆造。

　　原则之三,证明应自然地导致所求证的结果或公式 ,而不应为了达到预知结果以致出现不合情理的人为雕琢痕迹 。[ 33]这里虽然讲的是复原古证的问题 , 但对数学史研究的其他问题也是适用的。笔者认为,“三原则 ”的核心是尊重原始文献 。只有尊重原始文献 ,深入研究这些 “点 ”, 才有可能做好串连成“线 ”或 “体”的工作 ,形成完整、 准确的中国数学史。

参 考 文 献

1　 郭书春. 汇校《九章算术》增补版[ M] . 沈阳: 辽宁教育出版社, 台北: 台湾九章出版社, 2004.

2　 ( 清) 戴震. 《九章算术》提要[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇· 数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.95.

3　 钱宝琮. 戴震算学天文著作考[ J ] . 浙江大学科学报告, 1934, 1( 1) .

4　 郭书春, 刘钝. 李俨钱宝琮科学史全集[ Z ] . 第 9卷. 郑州: 河南教育出版社, 1998.

5　 ( 西汉) 司马迁. 史记·秦始皇本纪[ Z ] . 北京: 中华书局, 1959.239.

6　 李迪. 中国数学通史·上古到五代卷[ M ] . 南京: 江苏教育出版社, 1997.103— 106.

7　 李学勤. 中国数学史上的重大发现[ J ] . 文物天地, 1985, ( 1) .

8　 郭书春. 古代世界数学泰斗刘徽[ M ] . 济南: 山东科学技术出版社, 1992.87— 105.

9　 郭书春. 古代世界数学泰斗刘徽[ M ] . 繁体字修订本. 台北: 明文书局, 1995.92— 103.

10　 ( 日) 堀毅. 秦汉物价考[ A ] . ( 日) 堀毅. 秦汉法制史论考[ M ] . 北京: 法律出版社, 1988.268— 296.

11　 励乃骥. 《九章算经》圆田题和刘徽注的今释[ J ] . 数学教学, 1957, ( 6) : 1— 11.

12　 钱宝琮. 中国数学史[ A ] . 北京: 科学出版社, 1964.

13　 Wagner DB . Doubts Concerning the At tributionof LiuHui's Commentar　yon　the Chiu-chang Shuan shu [J]. ActaOrien-talia , 1978, 39: 199— 212.

14　 郭书春. 刘徽的极限理论[ A ] . 科学史集刊[ C ] . 第 11辑. 北京: 地质出版社, 1984.37— 46.

15　 郭书春. 刘徽的面积理论[ J ] . 辽宁师院学报, 1983, ( 1) : 85— 96.

16　 钱宝琮. 秦九韶《数书九章》研究[ A ] . 钱宝琮. 宋元数学史论文集[ C ] . 北京: 科学出版社, 1966.67— 77.

17　 ( 南宋) 秦九韶. 数书九章·大衍类[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.444— 445.

18　 郭书春. 中国古代数学[ M ] . 济南: 山东教育出版社, 1991.

19　 郭书春. 中国古代数学[ M ] . 繁体字本. 台北: 商务印书馆, 1994.1995.

20　 郭书春. 中国古代数学[ M ] . 修订本. 北京: 商务印书馆, 1997.2004.

21　 李兆华. 中国数学史[ M ] . 台北: 文津出版社, 1995.

22　 曲安京. 中国古代科学技术史纲·数学卷[ M ] . 沈阳: 辽宁教育出版社, 2000.

23　 ( 清) 阮元. 重刻《测圆海镜细草》序[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇· 数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.729.

24　 ( 清) 四库馆臣.《益古演段》提要[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.873.

25　 梅荣照. 李冶及其数学著作[ A ] . 钱宝琮. 宋元数学史论文集[ C ] . 北京: 科学出版社, 1966.

26　 ( 元) 李冶.《测圆海镜》自序[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷 [ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.730— 731.

27　 ( 元) 李冶.《益古演段》自序[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷 [ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.875.

28　 ( 元) 李冶. 测圆海镜[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993年.

29　 ( 元) 李冶. 益古演段[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社, 1993.

30　 孔国平. 李冶传[ M ] . 石家庄: 河北教育出版社, 1988.38— 39.

31　 孔国平. 李冶朱世杰与金元数学[ M ] . 石家庄: 河北科学技术出版社, 2000.92.

32　 ( 元) 朱世杰. 算学启蒙[ A ] . 郭书春. 中国科学技术典籍通汇·数学卷[ Z ] . 第 1册. 郑州: 河南教育出版社,1993.1191.

33　 吴文俊. 《海岛算经》古证探源[ A ] . 吴文俊. 吴文俊论数学机械化[ M] . 济南: 山东教育出版社, 1995.151.

作者：郭书春